潮汐力为何能撕裂天体？《张朝阳的物理课》推导洛希极限公式

  潮汐力为何能撕裂天体？什么是洛希极限？什么要素影响洛希极限的核算？1月20日12时，《张朝阳的物理课》榜首百一十七期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇直播间，先用一段动画给网友们演示了洛希极限的产生与含义，之后写出地球引力势以及平动月球参考系中的离心势，依据力场与势场的联系求得地球的潮汐力，潮汐力与球体月球本身的引力相平衡时得到洛希极限。随后指出月球是球体这一假定的不合理性，转而核算椭球形月球本身的引力，并求得其洛希极限，发现考虑形变会增大洛希极限，最终给出流体洛希极限的正确表达式。

  之前关于潮汐的直播课程中，月球被看作质点，研讨其引力在地球上产生的潮汐作用。这节课则反过来，把地球看作质点，研讨其引力在月球上产生的潮汐作用。

  如上图所示，设地球的质量为m1，月球的质量为m2，地球中心与月球中心都在z轴上。因为总体系关于z轴具有旋转对称性，只需选一个包括z轴地点的平面研讨即可，所以树立以z为极轴的极坐标系。坐标原点是月球中心，平面上其它点用其位矢与极轴的夹角θ和到原点的间隔r来描绘。别的，l是点到地球中心的间隔，而a是月球中心到地球中心的间隔。在之前核算月球潮汐时，已指出地球的引力势可用勒让德多项式打开，相同的，这儿月球的引力势与地球的引力势具有相同的方式，也可用勒让德多项式打开。保留到二阶勒让德多项式的地球引力势可写为：

  与之前剖析月球潮汐的状况相同，张朝阳选取的是绕地月质心平动旋转的参考系，只不过这时参考系的原点是固定在月球的中心，而不是地球中心。那么依据之前的课程内容，可知该平动参考系中因为有匀强的离心力场，对应的离心势为：

  其间，ω是地月公转角速度，r2是月球中心到地月质心的间隔，上式第二个等号用到了角速度公式ω^2=G(m1+m2)/a^3以及质心方位公式r2=a m1/(m1+m2) 。

  留意到P1(cosθ) = cosθ，不难发现地球引力势的第二项与离心势相消，地球引力势与离心势之和为：

  接下来只考虑月球上最挨近地球的微元的受力。因为z轴的方向是从月球中心指向地球中心，该微元的方位在θ=0处，这时留意到ϕt中的二阶勒让德多项式的表达式为：

  对它关于θ求导后得到-3cosθsinθ，而θ等于零，所以依据地球的潮汐力公式可知该点的潮汐力没有e_θ方向的重量，只要e_r方向的重量。设r_m为θ等于零时月球外表到月球中心的间隔，那么月球上最挨近地球的微元感遭到的力场为：

  假定月球是个完美球形，那么依据牛顿万有引力公式，可知最挨近地球的微元感遭到的月球本身的力场为：

  留意月球本身的引力与地月间隔a无关，而潮汐力的巨细与a^3成反比，即月球越挨近地球，潮汐力越大。假定月球是流体，当地月间隔较大时，微元感遭到的地球潮汐力比月球本身的引力小，微元被“按”在月球外表，月球不会崩溃。而当地月间隔较小时，微元遭到的潮汐力比月球本身引力还要大，本身的引力将无法束缚住微元，然后微元将脱离月球，产生崩溃。所以，当地球的潮汐力等于月球本身引力时，是月球开端崩溃的临界条件，这时的地月间隔a称为洛希极限。依据临界条件可得洛希极限a满意：

  将地球和月球当作近似密度均匀的物体，那么二者的质量可写成体积与密度的乘积：

  其间，ρ_e是地球的均匀密度，R_e是地球半径，ρ_m是月球的均匀密度。

  所以，若月球逐步挨近地球，当二者之间的间隔抵达6800 km时，月球开端崩溃。

  但实践上，上述关于流体洛希极限的核算是有误的，原因是假定了月球是流体后，月球就不行能是完美球形，只要抱负刚体才干从始至终坚持完美球形。流领会因为潮汐力而变形，当潮汐力不是十分大时，流体星球近似为椭球，依据之前关于固体潮的核算，这时星球本身的引力比较于球体时已产生改动而且不行疏忽。而当潮汐力更大的时分，本身引力比较球体时违背更大，更不能再简略地用球体的引力来推导洛希极限。

  因为直接核算流体月球的洛希极限还需求出潮汐力较大时月球的形状，过于杂乱难以进行，所以张朝阳假定月球的形状为偏心率很小的椭球来核算洛希极限，以剖析星体形变对洛希极限的影响。设月球的均匀半径为Rm，极轴方向的月球半径为r_p，笔直极轴的方向的月球半径为r_e，那么月球的偏心率为：

  依据极坐标中椭圆用勒让德多项式打开的表达式，可知月球上最挨近地球的微元到月球中心的间隔为：

  留意，因为ε很小，所以在所考虑的微元处月球引力与潮汐力方向相反，当它们巨细持平时对应的地月间隔a便是洛希极限，依据该临界条件可得a满意：

  相同使用地球与月球质量与其本身密度和体积的联系式，可将洛希极限的表达式写成：

  所以，依据上述椭球形月球的洛希极限表达式，可知椭球体洛希极限其将大于球体洛希极限：

  尽管当潮汐力逐步增大使得ε过大时，上述近似将会失效，但上述核算足以阐明地球潮汐力导致月球的形变，具有增大洛希极限的作用。对此能够做如下了解：在间隔地球最近的微元处，月球本身的引力fm因为月球沿极轴的拉长而削弱，而潮汐力fe则因月球沿极轴的拉长而添加，所以形变有利于潮汐力崩溃月球。实践上，流体洛希极限的正确表达式为：

  系数2.44比较系数1.26挨近2倍联系，意味着开立方根前，实践系数是抱负球体状况的七八倍，这阐明实在的状况形变十分大，椭球严峻拉长，导致系数改变很大。其实在开端核算完刚体洛希极限后，不难发现洛希极限现已与地球半径适当，这样的一种状况下，不只引力很大，许多几许上的简略近似也不再建立，球体形变十分显着。

  将地球密度、月球密度以及地球半径的具体数值代入上式，可求得实在的洛希极限为：

  这比用球形月球核算得到的洛希极限大许多，月球在挨近地球至约1.3万公里时就渐渐的开端崩溃了。

  据了解，《张朝阳的物理课》于每周周五、周日正午12时在直播，网友能够在“重视流”中查找“张朝阳”，观看直播及往期完好视频回放；重视“张朝阳的物理课”账号，检查课程中的“知识点”短视频。此外，还能够在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅读每期物理课程的具体文章。回来搜狐，检查更加多

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